Värdet på finansiella tillgångar varierar dagligen. Investerare behöver en indikator för att kvantifiera dessa rörelser som ofta är svåra att förutsäga. Tillgång och efterfrågan är de två huvudfaktorer som påverkar förändringar i tillgångspriser. I gengäld reflekterar prisrörelser en variation av fluktuationer som är orsakerna till proportionella vinster och förluster. Från en investerares perspektiv kallas osäkerheten kring sådana influenser och fluktuationer risk.

Priset på ett alternativ beror på dess underliggande förmåga att flytta eller inte, eller med andra ord förmågan att vara flyktig. Ju mer sannolikt det är att flytta desto dyrare blir premien närmare utgången. Således beräknar hur volatila en underliggande tillgång är bra för att förstå hur man prissätter derivat av den tillgången.

I - Mätning av tillgångens variation

Ett sätt att mäta en tillgångs variation skulle vara att kvantifiera den dagliga avkastningen (procent av rörelsen dagligen) av tillgången. Detta får oss att definiera och diskutera begreppet historisk volatilitet.

II - Definition

Historisk volatilitet baseras på historiska priser och representerar graden av variation i avkastningen på en tillgång. Detta nummer är utan en enhet och uttryckt i procent. (För mer, se: Vilken volatilitet betyder verkligen .)

III - Beräkning av den historiska volatiliteten

Om vi ​​kallar P (t), priset på en finansiell tillgång , valutapar etc.) vid tidpunkt t och P (t-1) priset på den finansiella tillgången vid t-1 definierar vi den dagliga avkastningen r (t) av tillgången vid tidpunkt t av:

r (t) = ln (P (t) / P (t-1)) med Ln (x) = naturlig logaritmfunktion.

Den totala avkastningen R vid tiden t är således:

R = r1 + r2 + r3 + 2 + … + rt-1 + rt som motsvarar:

R = Ln (Pl / P0) + … Ln (Pt-1 / Pt-2) + Ln (Pt / Pt-1)

Vi har följande jämlikhet:
Ln (a) + Ln (b) = Ln (a * b) > Så ger detta:

R = Ln [(P1 / P0 * (P2 / P1) * … (Pt / Pt-1)

R = Ln [(P1, P2 … Pt-1. Pt) / (P0, P1, P2 … Pt-2, Pt-1)]

Och efter förenkling får vi R = Ln (Pt / P0).

Utbytet beräknas vanligen som skillnaden i relativa prisförändringar . Det betyder att om en tillgång har ett pris på P (t) vid tidpunkten t och P (t + h) vid tiden t + h> t, r är avkastningen:

< r = (P (t + t) -P (t)) / P (t) = [P (t + h) / P (t)] - 1

När returen r är liten, t.ex. bara några procent har vi:

r ≈ Ln (1 + r)

Vi kan ersätta r med logaritmen för nuvarande pris sedan:

r ≈ Ln (1 + r)

r ≈ Ln (1 + ([P (t + h) / P (t)] - 1))

r ≈ Ln (P (t + h) / P (t))

Från en serie stängning priser till exempel, det räcker att ta logaritmen för förhållandet mellan två på varandra följande priser för att beräkna daglig avkastning r (t).

Således kan man också beräkna totalavkastningen R genom att endast använda de ursprungliga och slutliga priserna.

▪ Årlig volatilitet

För att fullt ut uppskatta de olika volatiliteterna över en period, multiplicerar vi den här volatiliteten som erhållits ovan med en faktor som svarar för tillgångarnas variation i ett år.

För att göra detta använder vi variansen. Variansen är kvoten av avvikelsen från genomsnittet av dagliga avkastningar för en dag.

För att beräkna kvadrattalet för avvikelserna från genomsnittet av de dagliga avkastningarna under 365 dagar, kommer vi att multiplicera variansen med antalet dagar (365). Den årliga standardavvikelsen hittas genom att ta kvadratroten av resultatet:

Varians = σ²daily = [Σ (r (t)) ² / (n - 1)]

För den årliga variansen, om man antar att året är 365 dagar, och varje dag har samma dagliga varians σ²daily får vi:

Annualized Variance = 365. σ²daily

Årlig Varians = 365. [Σ (r (t)) ² / (n - 1) ]

Slutligen, eftersom volatiliteten definieras som kvadratroten av variansen:
Volatilitet = √ (varians årlig)

Volatilitet = √ (365. Σ²daily)

Volatilitet = √ (365 [Σ r (t)) ² / (n - 1)].)

Simulering

■ Data

Vi simulerar från Excel-funktionen =

RANDBETWEEN

en aktiekurs som varierar dagligen mellan 94 och 104. Resultat i: ■ Beräkning av den dagliga avkastningen

I E-kolumnen skriver vi in ​​"Ln (P (t) / P (t-1))."

■ Beräkning av Kvadraten av dagliga avkastningar

I G-kolumnen skriver vi in ​​"(Ln (P (t) / P (t-1)) ^ 2."

■ Beräkna den dagliga variansen

För att beräkna varians får vi summan av de kvadrater som erhållits och divideras med (antal dagar -1). Så:

- I F25-cellen får vi "= summa (F6: F19)."

- I F26-cellen beräknas "= F25 / 18" eftersom vi har 19 -1 datapunkter att tas för denna beräkning.

■

Beräkning av den dagliga standardavvikelsen

För att beräkna standardavvikelsen dagligen måste vi beräkna kvadratroten av den dagliga variansen. Så: - I F28-cellen beräknas "= Kvadrat. Rot (F26)."

- I G29-cellen visas F28 i procent.

■ Beräkning av den årliga variansen

För att beräkna den årliga variansen från den dagliga variansen antas det att varje dag har samma varians, och vi multiplicerar den dagliga variansen med 365 med helger inkluderade. Så:

- I F30-cellen har vi "= F26 * 365."

■ Beräkning av den årliga standardavvikelsen

För att beräkna den årliga standardavvikelsen behöver vi bara beräkna kvadratroten av den årliga variansen . Så:

- I F32-cellen får vi "= ROOT (F30)."

- I G33-cellen visas F32 som procentandel.

Denna kvadratroten av den årliga variansen ger oss den historiska volatiliteten.