Från och med januari 2015, IBM IBMInternational Business Machines Corp151. 58-1. 15% Skapat med Highstock 4. 2. 6 Aktien handlar på $ 155 och du förväntar dig att den går högre under det närmaste året. Du avser att köpa ett köpoptionsalternativ på IBM-aktien med ett ATM-aktiekurs på $ 155, vilket förväntas dra nytta av hög procentsats avkastning, baserat på en liten optionskostnad (optionspremie) jämfört med köpeskillingen med ett högt köpeskillingspris. Vad ska vara det verkliga värdet av denna köpoption på IBM? (för relaterad läsning, se Tre sätt att tjäna pengar genom att använda samtalsalternativ )

Idag finns ett par olika färdiga metoder tillgängliga för att värdera alternativ - inklusive Black-Scholes-modellen och binomial-trädmodellen - som kan ge snabba svar. Men vilka är de bakomliggande faktorerna och drivkraven för att komma fram till sådana värderingsmodeller? Kan något liknande förberedas, baserat på konceptet av dessa modeller?

Här täcker vi byggstenar, underliggande begrepp och de faktorer som kan användas som ramverk för att bygga en värderingsmodell för en tillgång, till exempel alternativ, vilket ger en sida vid sida jämförelse med ursprunget till Black- Scholes (BS) -modell (för ytterligare läsning, se Alternativ Prissättning: Black-Scholes Modell ).

Denna artikel avser inte att utmana antagandena eller andra faktorer i BS-modellen (som är ett annat ämne helt och hållet); snarare syftar det till att förklara det underliggande konceptet för Black-Scholes-modellen, tillsammans med tanken på värderingsmodellutveckling.

Världen före Black-Scholes

Före Black-Scholes följdes den jämviktsbaserade kapitalbaspremiemodellen (CAPM) i stor utsträckning. Avkastningen och riskerna var balanserade med varandra, baserat på investerarens preferens, jag. e. En högriskbaserad investerare förväntades kompenseras med (potentialen för) högre avkastning i en motsvarande andel.

BS-modellen finner sina rötter i CAPM. Enligt Fisher Black, " tillämpade jag kapitalbasprissättningsmodellen till varje ögonblick i en warrant, för alla möjliga aktiekurser och teckningsvärde ".

Tyvärr kunde CAPM inte uppfylla kravet på warrant (option) prissättning.

Black-Scholes är den första modellen, baserad på arbitragebegreppet, vilket gör ett paradigmskifte från riskbaserade modeller (till exempel CAPM). Denna nya BS-modellutveckling ersatte CAPMs aktieavkastningskoncept med erkännandet av att en perfekt säkrad position kommer att tjäna en riskfri ränta. Detta tog ut risk- och avkastningsvariationerna och fastställde begreppet arbitrage där värderingar utförs på antaganden om riskneutrala koncept. En säkrad (riskfri) position borde leda till en riskfri avkastning.

Utvecklingen av prissättningsmodellen (Black-Scholes)

Låt oss börja med att fastställa problemet, kvantifiera det och utveckla en ram för sin lösning. Vi fortsätter med vårt exempel på värdering av ATM-köpoptionen på IBM med ett utropspris på $ 155 med ett år till utgången.

På grundval av den grundläggande definitionen av ett köpoption, om inte aktiekursen träffar strike-prisnivån, är löneavgiften noll. Post den nivån ökar löneutbetalningen linjärt (dvs en ökning med en dollar i underliggande kommer att ge en utdelning av en dollar från köpoptionen).

Om det antas att köparen och säljaren är överens om rättvis värdering (inklusive nollpris), kommer det teoretiska rättvisa priset för denna köpoption (för relaterad läsning, se Förstå Alternativprisning ) att vara: > Ringoptionspris = $ 0, om underliggande

• Samtalskostnadspris = (underliggande strejk), om underliggande> = strejk (blå graf)
• Detta representerar det inbyggda värdet av alternativet och ser ut perfekt ur en köpoptionsköparens synvinkel. I den röda regionen har både köparen och säljaren en rimlig värdering (nollpris till säljare, noll betalning till köpare). Värderingsutmaningen börjar emellertid med den blå regionen, eftersom köparen har fördelen av en positiv avkastning, medan säljaren lider en förlust (förutsatt att det underliggande priset går över lösenpriset). Det är här köparen har en fördel över säljaren med nollpris. Prissättningen måste vara icke-noll för att kompensera säljaren för den risk han tar.

I det förra fallet (röd graf) teoretiskt sett mottas nollpriset av säljaren och det finns nollutbetalningspotential för köparen (rättvis till båda). I det senare fallet (blå diagram) ska skillnaden mellan underliggande och strejk betalas av säljaren till köparen. Säljarens risk spänner över hela årsperioden. Till exempel kan det underliggande aktiekursen röra sig mycket högt (säg till $ 200 på fyra månader) och säljaren måste betala köparen differensen på $ 45.

Således kollar det ner till:

Kommer priset på det underliggande korset att överstiga priset?

1. Om det gör det, hur högt kan det underliggande priset gå (som det kommer att bestämma utbetalningen till köparen)?
2. Detta indikerar den stora risken som säljaren tar, vilket leder till frågan - varför skulle någon sälja ett sådant samtal om de inte får något för den risk de tar?

Vårt mål är att komma fram till ett enda pris som säljaren ska betala köparen, vilket kan kompensera honom för den övergripande risken han tar över ett års tid - både i nollbetalningsområdet (rött) och den linjära betalningen region (blå). Priset ska vara rättvist och acceptabelt för både köpare och säljare. Om så inte är fallet kommer den som har en nackdel att betala eller ta emot orättvist pris inte att delta i marknaden och därigenom besegra syftet med handelsaffären. Black-Scholes-modellen syftar till att fastställa detta rimliga pris genom att överväga en ständig prisvariation av aktien, tidens värde av pengar, alternativets aktiekurs och tiden till alternativets utgång.Liknande BS-modellen, låt oss se hur vi kan närma oss för att utvärdera detta för vårt exempel med våra egna metoder.

Hur man utvärderar intrinsiskt värde i blå region?

Ett antal metoder är tillgängliga för att förutsäga den förväntade prisrörelsen i framtiden under en given tidsram:

Man kan analysera liknande prisrörelser av samma längd under det senaste förflutna. Det historiska IBM-slutkurset indikerar att priset under det senaste året (2 januari 2014 till 31 december 2014) sjönk till 160 USD. 44 från $ 185. 53, en minskning med 13,5%. Kan vi avsluta en -13. 5% prisdrag för IBM?

• En ytterligare detaljerad kontroll visar att den berörde en årlig hög på $ 199. 21 (den 10 april 2014) och ett årligt lågt på 150 dollar. 5 (den 16 december 2014). Baserar dessa på startdagen, 2 januari 2014 och slutkursen på 185 dollar. 53, procentuell förändring varierar från +7. 37% till -18. 88%. Nu ser variationens intervall mycket bredare ut än den tidigare beräknade nedgången på 13,5%.
• Liknande analyser och observationer om historiska data kan genomföras. För att fortsätta vår prismodellutveckling, låt oss anta denna enkla metod för att mäta framtida prisvariationer.

Antag att IBM stiger 10% varje år (baserat på tidigare 20 års historiska data). Basstatistik indikerar att sannolikheten för att IBM-aktiekursförändringen svänger runt + 10% kommer att vara mycket högre än sannolikheten för att IBM-priset stiger 20% eller minskar 30%, förutsatt att historiska mönster upprepas. Att samla liknande historiska datapunkter med sannolikhetsvärden kan beräknas en total förväntad avkastning på IBMs aktiekurs inom en års tidsram som ett vägt genomsnitt av sannolikheter och tillhörande avkastning. Antag att IBM: s historiska prisdata anger följande steg:

(- 10%) 25 procent av tiderna,

• + 10% femtiofem procent gånger,
• + 15% tjugo procent av tider,
• + 20% tio procent gånger,
• + 25% fem procent gånger och
• (- 15%) fem procent av tiderna.
• Följaktligen kommer det vägda genomsnittet (eller det förväntade värdet) till:

(- 10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5 % - 15% * 5%) / 100% =
6. 5% i. e. I genomsnitt förväntas priset på IBM-aktierna återgå till +6. 5% på ett års tid för varje dollar. Om någon köper IBM-aktien med en års horisont och ett köpeskill på 155 dollar, kan man förvänta sig en nettoavkastning på 155 * 6. 5% = $ 10. 075.
Detta är dock för aktieavkastningen. Vi behöver leta efter liknande förväntade avkastningar för samtalsalternativet.

Med utgångspunkt från nollavräkning av anropet under träffpriset (existerande $ 155 - ATM-samtal) kommer alla negativa drag att generera nollutbetalningar, medan alla positiva flyttningar över aktiekursen genererar motsvarande utdelning. Den förväntade avkastningen för köpoptionen kommer således att vara:

(

-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5 % - 0 % * 5%) / 100% = 9. 75% i. e. för varje $ 100 som investeras i att köpa det här alternativet kan man förvänta sig $ 9. 75 (baserat på ovanstående antaganden).

Detta är emellertid fortfarande begränsat till en rimlig värdering av den inneboende summen av optionen och tar inte rätt in risken för optionsleverantören för de höga svängningar som kan inträffa i mellantiden (vid ovannämnda intrayear höga och låga priser).Förutom det inneboende värdet, vilket pris kan överenskommas av köparen och säljaren, så att säljaren rättvis kompenseras för den risk som han tar över ett års tidsram?

Dessa gungor kan variera kraftigt och säljaren kan ha sin egen tolkning av hur mycket han vill kompenseras för det. Black-Scholes-modellen förutsätter europeiska typalternativ, jag. e. ingen övning före utgångsdatum. Således förblir det opåverkat av mellanliggande prissvängningar och baseras dess värdering på handelsdagar från slutet till slutet.

I realtidshandel spelar denna volatilitet en viktig roll vid fastställandet av optionspriser. Den blå utbetalningsfunktionen som vi vanligtvis ser är faktiskt utbetalningen vid utgångsdatum. Realistiskt är optionspriset (rosa diagram) alltid högre än utbetalningen (blå diagram), vilket anger priset som säljaren tar för att kompensera för sina risker. Därför är optionspriset även kallat alternativet "premium" - vilket i huvudsak anger riskpremien.

Detta kan inkluderas i vår värderingsmodell, beroende på hur mycket volatilitet förväntas i aktiekursen och hur mycket förväntat värde som skulle ge.

Black-Scholes-modellen gör det effektivt (naturligtvis inom sina egna antaganden) enligt följande:

BS-modellen förutsätter lognormal fördelning av aktiekursrörelser, vilket motiverar användningen av N (d1) och N (d2 ).

I den första delen anger S den aktuella aktiekursen.

N (d1) indikerar sannolikheten för den aktuella prisrörelsen på lager.
Om det här alternativet går in-the-money så att köparen kan utnyttja det här alternativet får han en andel av det underliggande IBM-aktien. Om näringsidkaren övar det idag, representerar S * N (d1) dagens förväntade värde av alternativet.

I den andra delen indikerar X strejkpriset.

N (d2) representerar sannolikheten för att aktiekursen ligger över aktiekursen.

Så X * N (d2) representerar det förväntade värdet av det återstående aktiekursen
över lösenpriset. Eftersom Black-Scholes-modellen antar europeiska stilalternativ där träning endast är möjlig i slutet, bör det förväntade värdet representerat ovan av X * N (d2) diskonteras för tidvärdet av pengar. Följaktligen multipliceras den sista delen med exponentiell term som höjts till räntesatsen under tidsperioden.

Netto skillnaden mellan de två termerna indikerar prisvärdet av alternativet från och med idag (där den andra terminen är diskonterad).

I våra ramar kan sådana prisdragningar ingå mer exakt på flera sätt:

Ytterligare förfining av förväntade avkastningsberäkningar genom att utvidga intervallet till snabbare intervall för att inkludera intradag / intrayear prisförändringar

• Inkludering av dagens marknadsdata, eftersom den speglar dagens aktivitetsaktivitet (liknande underförstådd volatilitet)
• Förväntad avkastning vid utgången datum som kan diskonteras tillbaka till idag för realistiska värderingar och ytterligare reduceras från dagens värde
• Således ser vi att det inte finns någon gräns för antaganden, metoder och anpassning som ska väljas för kvantitativ analys.Beroende på tillgången som ska handlas eller investeringar som ska övervägas, kan en egenutvecklad modell bearbetas. Det är viktigt att notera att volatiliteten i prisrörelserna i olika tillgångsklasser varierar mycket - aktier har volatilitet skew, forex har volatilitet rynkade - och användarna bör införliva de tillämpliga volatilitetsmönstren i deras modeller. Förutsättningar och nackdelar är en integrerad del av vilken modell som helst och kunnig tillämpning av modeller i verkliga världshandelsscenarier kan ge bättre resultat. (för relaterad läsning, se

En enkel översikt över kvantitativ analys ) Bottom Line

Med komplexa tillgångar som går in i marknaderna eller till och med vanliga tillgångar hamnar i komplexa former av handel, kvantitativ modellering och analys blir obligatorisk för värdering. Tyvärr kommer ingen matematisk modell utan en uppsättning nackdelar och antaganden. Det bästa sättet är att hålla antagandena till ett minimum och vara medveten om de underförstådda nackdelarna, som kan hjälpa till med att rita linjerna om användning och tillämplighet av modellerna.