Ett av de vanligaste sätten att uppskatta risk är användningen av en Monte Carlo-simulering (MCS). Till exempel, för att beräkna värdet på risk (VaR) i en portfölj kan vi köra en Monte Carlo-simulering som försöker förutspå den mest sannolika förlusten för en portfölj med ett konfidensintervall över en viss tidshorisont - vi måste alltid ange två Villkor för VaR: Förtroende och horisont. (För relaterad läsning, se Volatilitetens användningar och gränser och Introduktion till Value at Risk (VAR) - Del 1 och Del 2 .)

I den här artikeln granskar vi en grundläggande MCS som tillämpas på ett aktiekurs. Vi behöver en modell för att specificera aktiekursens beteende, och vi använder en av de vanligaste modellerna inom finans: geometrisk brunisk rörelse (GBM). Därför, medan Monte Carlo-simulering kan referera till ett universum med olika sätt att simulera, börjar vi här med de mest grundläggande.

Var ska man börja En Monte Carlo-simulering är ett försök att förutse framtiden många gånger över. I slutet av simuleringen producerar tusentals eller miljontals "slumpmässiga försök" en fördelning av resultat som kan analyseras. Grunderna är:

1. Ange en modell (t.ex. geometrisk brunisk rörelse)
2. Generera slumpmässiga försök
3. Bearbeta utmatningen

1. Ange en modell (t.ex. GBM)
I den här artikeln kommer vi att använda den geometriska Brownian Motion (GBM), vilket är tekniskt en Markov-process. Detta innebär att aktiekursen följer en slumpmässig promenad och överensstämmer med (i alla fall) den svaga formen av den effektiva marknadshypotesen (EMH): tidigare prisinformation är redan införlivad och nästa prisrörelse är "villkorligt oberoende" av förflutna prisrörelser. (För mer om EMH, läs Arbeta genom den effektiva marknadshypotesen och Vad är marknadseffektivitet? )

Formeln för GBM finns nedan, där "S" är aktiekursen "m" (den grekiska mu) är den förväntade avkastningen, "s" (Greek sigma) är standardavvikelsen av retur, "t" är tid och "e" (grekisk epsilon) är den slumpmässiga variabeln:

Om vi ​​omarrangerar formeln för att lösa just för förändringen av aktiekursen ser vi att GMB säger förändringen i aktiekursen är aktiekursen "S" multiplicerad med de två termen som finns inom parentesen nedan:

Den första termen är en "drift" och den andra termen är en "chock". För varje tidsperiod antar vår modell att priset kommer att "driva" upp med den förväntade avkastningen. Men driften kommer att chockas (läggas till eller subtraheras) av en slumpmässig chock. Den slumpmässiga chocken är standardavvikelsen "s" multiplicerad med ett slumptal "e". Detta är helt enkelt ett sätt att skala standardavvikelsen.

Det är kärnan i GBM, som illustreras i Figur 1. Aktiepriset följer en rad steg där varje steg är en drift plus / minus en slumpmässig chock (i sig en funktion av aktiens standardavvikelse): > Figur 1

2.Generera slumpmässiga försök

Beväpnad med en modellspecifikation, fortsätter vi sedan att köra slumpmässiga försök. För att illustrera har vi använt Microsoft Excel för att köra 40 försök. Tänk på att detta är ett orealistiskt litet prov; de flesta simuleringar eller "sims" kör åtminstone flera tusen försök. Anta i så fall att beståndet börjar på dag noll med ett pris på $ 10. Här är ett diagram över resultatet där varje gångsteg (eller intervall) är en dag och serien går i tio dagar (sammanfattande: fyrtio försök med dagliga steg över tio dagar):

Figur 2: Geometrisk Brownian Motion > Resultatet är fyrtio simulerade aktiekurser i slutet av 10 dagar. Ingen har hänt att falla under $ 9, och en är över $ 11.

3. Process Output

Simuleringen gav en fördelning av hypotetiska framtida resultat. Vi kunde göra flera saker med utgången. Om vi ​​till exempel vill uppskatta VaR med 95% konfidens, då behöver vi bara hitta det trettionde-rankade resultatet (det tredje värsta resultatet). Det beror på att 2/40 är 5%, så de två sämsta resultaten ligger i lägst 5%.

Om vi ​​staplar de illustrerade resultaten i rutor (varje bin är en tredjedel av $ 1, så tre rutor täcker intervallet från $ 9 till $ 10) får vi följande histogram: Figur 3

Kom ihåg att vår GBM-modell förutsätter normalitet: Prisavkastningen fördelas normalt med förväntad avkastning (medelvärde) "m" och standardavvikelse "s". Intressant är att vårt histogram inte ser normalt ut. Faktum är att det med mer försök inte kommer att tendera mot normalitet. Istället kommer det att tendera mot en lognormal fördelning: en vass nedgång till vänster om medelvärdet och en mycket snedställd "lång svans" till höger om medelvärdet. Detta leder ofta till en potentiellt förvirrande dynamik för första gången studenter:

Pris

returnerar

• distribueras normalt. Pris nivåer
• är normalt distribuerade. Tänk på det på så sätt: En aktie kan returnera upp eller ner 5% eller 10%, men efter en viss tid kan aktiekursen inte vara negativ. Vidare har prishöjningar på uppsidan en förhöjande effekt, medan prisminskningar på nackdelen minskar basen: tappa 10% och du är kvar med mindre för att förlora nästa gång. Här är ett diagram över den lognormala fördelningen överlagd på våra illustrerade antaganden (t.ex. startpris på $ 10): Figur 4

Sammanfattning

En Monte Carlo-simulering tillämpar en vald modell (en modell som anger beteendet hos en instrument) till en stor uppsättning av slumpmässiga försök i ett försök att skapa en trovärdig uppsättning möjliga framtida resultat. När det gäller att simulera aktiekurser är den vanligaste modellen geometrisk brunisk rörelse (GBM). GBM förutsätter att en konstant drift följs av slumpmässiga stötar. Medan periodens avkastning enligt GBM normalt distribueras, blir de följdvisa prisnivåerna (till exempel tio dagar) lognormalt fördelade.

Kolla in David Harpers filmstudie, Monte Carlo Simulation med Geometric Brownian Motion

, för att lära dig mer om detta ämne.