Den normala (Bell Curve) Distribution

Dataset (som höjd på 100 människor, betyg erhållna av 45 elever i en klass etc.) tenderar att ha många värden vid samma datapunkt eller inom samma område. Denna fördelning av datapunkter kallas normal- eller bellkurvfördelning. Till exempel kan i en grupp på 100 personer 10 vara under 5 fot långa, 65 kan ligga mellan 5 och 5, 5 fot och 25 kan vara över 5 5 fot. Denna intervallbundna fördelning kan plottas enligt följande:

På liknande sätt kan datapunkter som är plottade i diagram för en given dataset likna olika typer av distributioner. Tre av de vanligaste är vänsterjusterade, rättjusterade och jumbledfördelningar:

Notera den röda trendlinjen i var och en av dessa grafer. Detta indikerar grovt datatransmissionsutvecklingen. Den första, "LEFT Aligned Distribution", indikerar att en majoritet av datapunkterna faller i det lägre intervallet. I andra grafiken "RIGHT Aligned Distribution" faller majoriteten av datapunkter i den högre delen av intervallet, medan den sista "Jumbled Distribution" representerar en blandad dataset utan någon klar trend.

Det finns många fall där fördelningen av datapunkter tenderar att ligga runt ett centralt värde, och den grafen visar en perfekt normal fördelning, lika balanserad på båda sidor med det högsta antalet datapunkter koncentrerad i mitten.

Här är en perfekt, normalt distribuerad dataset.

Det centrala värdet här är 50, vilket har flest antal datapunkter och fördelningen avtar jämt mot extrema ändvärden på 0 och 100, som har det minsta antal datapunkter. Den normala fördelningen är symmetrisk runt det centrala värdet med halva värdena på varje sida.

Många exemplar i verkligheten passar bellkurvan fördelning:

• Kasta ett rättvist mynt många gånger (säg 100 gånger eller mer) och du får balanserad normal fördelning av huvuden och svansarna.
• Rulla ett par rättvisa tärningar många gånger (säg 100 gånger eller mer) och resultatet kommer att vara en balanserad normal fördelning centrerad runt nummer 7 och likformigt avtagande mot extrema-värden på 2 och 12.
• höjden av individer i en grupp av stor storlek och märken som erhållits av personer i en klass följer båda normala fördelningsmönster.
• I ekonomi antas förändringar i loggvärdenaav valutakurser, prisindex och aktiekurser normalt distribueras.

Relationen till finans och investeringar

Eventuella investeringar har två aspekter: risk och avkastning. Investerare letar efter lägsta möjliga risk för högsta möjliga avkastning. Den normala fördelningen kvantifierar dessa två aspekter med medelvärdet för avkastning och standardavvikelse för risk.(För mer, se: Medelvariansanalys .)

Medel eller Förväntat värde

En särskild aktiens prisvärdeförändring kan vara 1,5% dagligen - vilket innebär att det i genomsnitt går upp med 1, 5%. Detta medelvärde eller förväntade värdeindikerande avkastning kan erhållas genom att beräkna genomsnittet på en tillräckligt stor dataset som innehåller historiska dagliga prisändringar av det aktuella lagret. Ju högre medelvärdet desto bättre.

Standardavvikelse

Standardavvikelse anger hur mycket värden som avviker i genomsnitt från medelvärdet. Ju högre standardavvikelsen är, desto riskerar investeringen, eftersom det leder till mer osäkerhet.

Här är en grafisk representation av detsamma:

Följaktligen möjliggör den grafiska representationen av normal fördelning genom sin genomsnittliga och standardavvikelse representation av både avkastning och risk inom ett tydligt avstånd.

Det hjälper till att veta (och försäkra sig med säkerhet) att om en viss dataset följer det normala distributionsmönstret, kommer dess medelvärde att göra det möjligt för oss att veta vad som återkommer att förvänta sig, och dess standardavvikelse gör det möjligt för oss att veta att cirka 68% av Värdena ligger inom 1 standardavvikelse, 95% inom 2 standardavvikelser och 99% av värdena faller inom 3 standardavvikelser. En dataset som har en betydelse av 1, 5 och standardavvikelsen på 1 är mycket riskabelare än en annan dataset som har medelvärdet av 1. 5 och standardavvikelsen på 0. 1.

Att veta dessa värden för varje vald tillgång (dvs. aktier, obligationer och medel) kommer att göra en investerare medveten om förväntad avkastning och risker.

Det är enkelt att tillämpa detta koncept och representera risken och avkastningen på en enda aktie, obligation eller fond, men kan detta utvidgas till en portfölj med flera tillgångar?

Personer börjar handla genom att köpa en enda aktie eller ett obligationslån eller investera i en fond. Gradvis tenderar de att öka sina innehav och köpa flera aktier, medel eller andra tillgångar och därmed skapa en portfölj. I detta inkrementella scenario bygger individer sina portföljer utan en strategi eller mycket förtanke. Professionella fondförvaltare, handlare och marknadsaktörer följer en systematisk metod för att bygga sin portfölj med hjälp av ett matematiskt tillvägagångssätt som heter Modern Portfolio Theory (MPT) som bygger på begreppet "normal distribution". "

Modern Portfolio Theory

Modern portföljteori erbjuder ett systematiskt matematiskt tillvägagångssätt som syftar till att maximera en portföljs förväntad avkastning för en viss mängd portföljrisk genom att välja proportionerna för olika tillgångar. Alternativt erbjuder det också att minimera risken för en viss nivå av förväntad avkastning.

För att uppnå detta mål bör de tillgångar som ingår i portföljen inte väljas uteslutande utifrån deras egna individuella meriter utan istället hur de olika tillgångarna ska utföra i förhållande till övriga tillgångar i portföljen.

I en nötskal definierar MPT hur man bäst uppnår diversifiering av portfölj för bästa möjliga resultat: maximal avkastning för en acceptabel nivå av risk eller minimal risk för önskad avkastningsnivå.

Byggnadsblocken

MPT var ett så revolutionärt begrepp när det introducerades att dess uppfinnare vann en nobelpris. Denna teori gav framgångsrikt en matematisk formel för att styra diversifiering i investeringar.

Diversifiering är en riskhanteringsteknik, som tar bort risken "alla ägg i en korg" genom att investera i icke-korrelerade lager, sektorer eller tillgångsklasser. Idealt sett kommer en positiv tillgångs resultat i portföljen att avbryta negativa resultat för andra tillgångar.

För att ta den genomsnittliga avkastningen på portföljen som har n olika tillgångar, beräknas den proportionella vikten av de sammansatta tillgångarnas avkastning. På grund av karaktären av statistiska beräkningar och normal fördelning beräknas den totala portföljens avkastning (R p _{) som:} summan (Σ) där w

i _{är proportionell vikt av tillgång I i portföljen, R} i _{är avkastningen (medelvärdet) för tillgången i.} Portföljrisken (eller standardavvikelsen) är en funktion av korrelationerna för de inkluderade tillgångarna, för alla tillgångspar (med avseende på varandra i paret). På grund av arten av statistiska beräkningar och normal fördelning beräknas den totala portföljrisken (Std-dev)

p _som: där korrelation är korrelationskoefficienten mellan avkastning av tillgångar i och j, och sqrt är kvadratroten.

Detta tar hand om den relativa prestandan för varje tillgång i förhållande till den andra.

Även om det förefaller matematiskt komplexa, innehåller det enkla konceptet som används här inte bara standardavvikelserna för enskilda tillgångar, utan även de relaterade i förhållande till varandra.

Ett bra exempel finns här från University of Washington.

Ett snabbt exempel

Låt oss föreställa oss att vi är en portföljförvaltare som har fått kapital och har uppgift om hur mycket kapital som ska fördelas på två tillgängliga tillgångar (A & B), så att det förväntas avkastningen är maximal och risken är lägst.

Vi har också följande värden tillgängliga:

R

a _{= 0. 175} R

b _{= 0. 055} (Std-dev) < a

= 0. 258 _(Std-dev) b

= 0. 115 _(Std-dev) ab

= -0. 004875 _(Cor-cof) ab

= -0. 164 _{Beräknas med lika 50-50-fördelning till varje tillgång A & B, R} p

till 0. 115 och (Std-dev) _p kommer till 0. 1323 . En enkel jämförelse berättar att för denna 2 tillgångsportfölj är avkastningen samt risken halvvägs mellan individuella värden för varje tillgång. _{Vårt mål är dock att förbättra avkastningen på portföljen utöver det genomsnittliga genomsnittet av enskilda tillgångar och minska risken så att den är lägre än för de enskilda tillgångarna.} Låt oss nu ta en 1: 5 kapitaltilldelningsposition i tillgång A och a -0. 5 kapitaltillgodohavande i tillgång B. (Negativ kapitaltilldelning betyder att korta aktier och kapital som erhållits används för att köpa överskott av annan tillgång med positiv kapitaltilldelning. Med andra ord kortar vi aktie B för 0.5 gånger med kapital och använda dessa pengar för att köpa A-aktier för antal 1. 5 gånger kapital.)

Med dessa värden får vi R

p

som 0. 1604 och (Std-dev) < p _{som 0. 4005.} På samma sätt kan vi fortsätta använda olika fördelningsvikter till tillgång A & B och komma fram till olika uppsättningar Rp och (Std-dev) p. Enligt önskad avkastning (Rp) kan man välja den bästa acceptabla risknivån (std-dev) p. Alternativt, för en önskad risknivå, kan man välja den bästa tillgängliga portföljens avkastning. Hur som helst, genom denna matematiska modell av Portfolio Theory, är det möjligt att uppnå målet att skapa en effektiv portfölj med önskad risk och returkombination. _{Användningen av automatiserade verktyg gör att man enkelt och smidigt kan detektera de bästa möjliga fördelade proportionerna utan att behöva långa manuella beräkningar.} Den effektiva gränsen, CAPM (Capital Asset Pricing Model) och tillgångsprisning med MPT utvecklas också från samma normala distributionsmodell och är en förlängning till MPT.

Utmaningarna till MPT (och underliggande Normalfördelning):

Tyvärr är ingen matematisk modell perfekt och var och en har otillräckligheter och begränsningar.

Det grundläggande antagandet om att aktiekursavkastningen följer normal distribution själv ifrågasätts gång på gång. Det finns tillräckligt empiriskt bevis på instanser där värden inte klarar av den antagna normalfördelningen. Att basera komplexa modeller på sådana antaganden kan leda till resultat med stora avvikelser.

Vidare går in i MPT, beräkningarna och antagandena om korrelationskoefficient och kovarians som är kvar fasta (baserat på historiska data) kanske inte nödvändigtvis gäller för framtida förväntade värden. Till exempel visade obligations- och aktiemarknaden perfekt korrelation på den brittiska marknaden under perioden 2001 till 2004, där avkastningen från båda tillgångarna sjönk samtidigt. I verkligheten har omvänden observerats under långa historiska perioder före 2001.

Investorbeteende beaktas inte i denna matematiska modell. Skatter och transaktionskostnader försummas, trots att bruttokapitalfördelningen och möjligheten att förkorta tillgångar antas.

I verkligheten kan inget av dessa antaganden vara sant, vilket innebär att realiserad avkastning kan skilja sig avsevärt från det förväntade resultatet.

Bottom Line:

Matematiska modeller ger en bra mekanism för att kvantifiera vissa variabler med enkla, spårbara nummer. Men på grund av begränsningarna av antaganden kan modeller misslyckas. Normal Distribution, som ligger till grund för Portfolio Theory, kan inte nödvändigtvis gälla aktier och andra finansiella tillgångsmönster. Portfolio Theory i sig har många antaganden som bör granskas kritiskt innan de fattar viktiga ekonomiska beslut.