Volatilitet är det vanligaste måttet på risk, men det kommer i flera smaker. I en tidigare artikel visade vi hur man beräkna enkel historisk volatilitet. (För att läsa den här artikeln, se Använd volatilitet för att mäta framtida risker .) I den här artikeln kommer vi att förbättra den enkla volatiliteten och diskutera exponentialvägt rörligt genomsnitt (EWMA).

Historisk Vs. Implicit Volatilitet

Låt oss först sätta denna mätning i en bit av perspektiv. Det finns två breda tillvägagångssätt: historisk och underförstådd (eller implicit) volatilitet. Det historiska tillvägagångssättet förutsätter att förflutet är prolog; vi mäter historia i hopp om att det är förutsägbart. Implicit volatilitet å andra sidan ignorerar historia; det löser sig för volatiliteten implicerad av marknadspriser. Det hoppas att marknaden vet bäst och att marknadspriset innehåller, även om det implicit är, en konsensusuppskattning av volatiliteten.

Om vi ​​fokuserar på bara de tre historiska tillvägagångssätten (till vänster ovan), har de två steg gemensamt:

1. Beräkna serien med periodisk avkastning
2. Använd ett viktningsschema >

Först beräknar vi den periodiska avkastningen. Det är typiskt en serie av dagliga avkastningar där varje avkastning uttrycks i fortlöpande sammansatta termer. För varje dag tar vi den naturliga loggen av förhållandet mellan aktiekurserna (t ex, pris idag delat med pris igår, och så vidare).

Detta ger en serie dagliga avkastningar, från u

i _{till u} i-m _{, beroende på hur många dagar (m = dagar) vi mäter.} Det får oss till det andra steget: Det är här de tre metoderna skiljer sig åt. I föregående artikel visade vi att enligt enkla acceptabla förenklingar är den enkla variansen genomsnittet av de kvadrerade avkastningarna:

Observera att summan av varje periodisk avkastning delar upp den totala med antalet dagar eller observationer (m). Så det är egentligen bara ett medelvärde av den kvadrerade periodiska avkastningen. Sätt på ett annat sätt, varje kvadrerad retur ges lika vikt. Så om alfa (a) är en viktningsfaktor (specifikt a = 1 / m) ser en enkel varians något ut så här:

EWMA förbättras på enkel varians

Svagheten i detta tillvägagångssätt är att alla avkastningar tjäna samma vikt. Gårdagens (väldigt senaste) avkastning har ingen större inverkan på variansen än förra månaden. Detta problem fastställs med hjälp av det exponentiellt vägda glidande medlet (EWMA), i vilket nyare avkastning har större vikt på variansen.
Det exponentiellt viktade glidande medlet (EWMA) introducerar lambda, som kallas utjämningsparametern. Lambda måste vara mindre än en. Under det förhållandet, i stället för lika vikter, vägs varje kvadrerad avkastning med en multiplikator enligt följande:

RiskMetrics

TM ^{, _{Ett finansiellt riskhanteringsföretag tenderar till exempel att använda en lambda av 0.94 eller 94%. I detta fall vägs den första (senaste) kvadratiska periodiska avkastningen av (1-0, 94) (.94)}} 0 ^{= 6%. Nästa kvadrerade retur är helt enkelt en lambda-multipel av den tidigare vikten; i detta fall 6% multiplicerat med 94% = 5 64%. Och den tredje föregående dagen är lika med (1-0, 94) (0,94)} 2 ^{= 5 30%.} Det är betydelsen av "exponentiell" i EWMA: varje vikt är en konstant multiplikator (dvs lambda, som måste vara mindre än en) av föregående dags vikt. Detta säkerställer en varians som är viktad eller förspänd mot senare data. (För mer information, kolla in Excel-kalkylbladet för Googles volatilitet.) Skillnaden mellan helt enkelt volatilitet och EWMA för Google visas nedan.

Enkel volatilitet väger effektivt varje periodisk avkastning med 0. 196% som visas i kolumn O (vi hade två års daglig aktiekursdata. Det är 509 dagliga avkastningar och 1/509 = 0,196%). Men observera att kolumn P tilldelar en vikt på 6%, sedan 5. 64%, sedan 5. 3% och så vidare. Det är den enda skillnaden mellan enkel varians och EWMA.

Kom ihåg: När vi summerar hela serien (i kolumn Q) har vi variansen, vilket är kvadraten av standardavvikelsen. Om vi ​​vill ha volatilitet, måste vi komma ihåg att ta kvadratroten av den variansen.

Vad är skillnaden i den dagliga volatiliteten mellan variansen och EWMA i Googles fall? Det är viktigt: Den enkla variansen gav oss en daglig volatilitet på 2,4%, men EWMA gav en daglig volatilitet på endast 1, 4% (se kalkylbladet för detaljer). Uppenbarligen sänkte Googles volatilitet mer nyligen. därför kan en enkel varians vara konstant hög.

Dagens varians är en funktion av föregående dags varians

Du kommer märka att vi behövde beräkna en lång serie exponentiellt sjunkande vikter. Vi kommer inte göra matematiken här, men en av EWMA: s bästa egenskaper är att hela serien reduceras bekvämt till en rekursiv formel:

Rekursiv betyder att dagens variansreferenser (dvs. är en funktion av tidigare dags varians) . Du kan även hitta denna formel i kalkylbladet, och det ger exakt samma resultat som longhandberäkningen! Det står att dagens varians (under EWMA) motsvarar gårdagens varians (viktad av lambda) plus gårdagens kvadrerade avkastning (vägd av en minus lambda). Lägg märke till hur vi bara lägger till två termer tillsammans: gårdagens viktiga varians och gårdagens viktiga, kvadrerade avkastning.

Ändå är lambda vår utjämningsparameter. En högre lambda (till exempel RiskMetrics 94%) indikerar långsammare sönderfall i serien - relativt sett kommer vi att ha fler datapunkter i serien och de kommer att "falla av" långsammare. Å andra sidan, om vi reducerar lambda, indikerar vi högre sönderfall: vikterna faller av snabbare och som ett direkt resultat av det snabba förfallet används färre datapunkter. (I kalkylbladet är lambda en ingång, så du kan experimentera med sin känslighet).

Sammanfattning

Volatilitet är den aktuella standardavvikelsen för ett lager och den vanligaste riskvärdet.Det är också kvadratrot av varians. Vi kan måle variationen historiskt eller implicit (implicit volatilitet). När man mäter historiskt är den enklaste metoden enkel varians. Men svagheten med enkel varians är alla avkastningar får samma vikt. Så vi står inför en klassisk avvägning: vi vill alltid ha mer data, men ju mer data vi har desto mer beräknas utspädningen av avlägsna (mindre relevanta) data. Det exponentiellt viktade glidande genomsnittet (EWMA) förbättras på enkel varians genom att tilldela vikter till periodisk avkastning. Genom att göra det kan vi båda använda en stor urvalsstorlek men ge också större vikt till senare avkastning.