Det är ganska utmanande att komma överens om den korrekta prissättningen av någon omsättningsbar tillgång, även idag. Därför stannar aktiekurserna ständigt. I verkligheten ändrar bolaget knappast sin värdering dagligen, men aktiekursen och dess värdering ändras varje sekund. Detta visar det svårt att nå enighet om dagens pris för någon omsättningsbar tillgång, vilket leder till arbitrage möjligheter. Men dessa arbitrage möjligheter är verkligen kortlivade.

Allting kollapsar till dagens värdering - vad är det rätta nuvarande priset idag för en förväntad framtida utdelning?

På en konkurrensutsatt marknad, för att undvika arbitrage möjligheter, måste tillgångar med identiska utbetalningsstrukturer ha samma pris. Värdering av optioner har varit en utmanande uppgift och höga prisvariationer observeras vilket leder till arbitrage möjligheter. Black-Scholes är fortfarande en av de mest populära modellerna som används för prisalternativ, men har sina egna begränsningar. (För mer information se: Alternativpriser ). Binomial options pricing modell är en annan populär metod som används för prissättning alternativ. I den här artikeln diskuteras några omfattande steg-för-steg-exempel och förklarar det underliggande riskneutrala konceptet vid tillämpningen av denna modell. (För relaterad läsning, se: Bryt ner binomialmodellen för att värdera ett alternativ ).

Denna artikel förutsätter användarens förtrogenhet med alternativ och relaterade begrepp och termer.

Antag att det finns ett köpoption på ett visst lager vars nuvarande marknadspris är $ 100. ATM-alternativet har träffpris på $ 100 med tiden till utgången av ett år. Det finns två handlare, Peter och Paul, som båda är överens om att aktiekursen antingen stiger till $ 110 eller faller till $ 90 på ett års tid. De båda överens om förväntade prisnivåer inom en viss tidsram på ett år, men är inte ense om sannolikheten för uppflyttningen (och nedåtflyttningen). Peter anser att sannolikheten för aktiekursen går till 110 USD är 60%, medan Paul anser att det är 40%.

På grundval av ovanstående vem skulle vara villig att betala mer pris för köpoptionen?

Eventuellt Peter, som han förväntar sig hög sannolikhet för uppflyttningen.

Låt oss se beräkningarna för att verifiera och förstå detta. De två tillgångar som värderingen beror på är köpoptionen och det underliggande lagret. Det finns ett avtal mellan deltagarna att det underliggande aktiekursen kan gå från nuvarande $ 100 till antingen $ 110 eller $ 90 på ett års tid och det finns inga andra prisdragningar möjliga.

I en arbitragefri värld, om vi måste skapa en portfölj bestående av dessa två tillgångar (köpoption och underliggande lager) så att, oberoende av var det underliggande priset går ($ 110 eller $ 90) förblir densamma.Antag att vi köper "d" -andelar av underliggande och korta samtalsalternativ för att skapa denna portfölj.

Om priset går till 110 USD, kommer våra aktier att vara $ 110 * d och vi kommer att förlora $ 10 på kortbetalning. Nettovärdet för vår portfölj kommer att vara (110d - 10).

Om priset går ner till $ 90, kommer våra aktier att vara värd $ 90 * d, och alternativet löper ut värdelöst. Nettovärdet av vår portfölj kommer att vara (90d).

Om vi ​​vill att värdet av vår portfölj ska förbli densamma, oavsett var den underliggande aktiekursen går, bör vårt portföljvärde vara i samma fall i båda fallen, i. e. :

=> (110d - 10) = 90d

=> d = ½

i. e. om vi köper en halv aktie (förutsatt att fraktionerna är inköpta) kommer vi att lyckas skapa en portfölj så att dess värde förblir detsamma i båda möjliga staterna inom den angivna tidsramen på ett år. (punkt 1)

Detta portföljvärde, angivet med (90d) eller (110d -10) = 45, är ett år längs linjen. För att beräkna dess nuvärde kan det diskonteras med riskfri avkastning (antagande 5%).

=> 90d * exp (-5% * 1 år) = 45 * 0. 9523 = 42. 85 => Portföljens nuvarande värde

Från och med idag består portföljen av ½ andel av underliggande lager med marknadspris $ 100) och ett kort samtal bör det vara lika med nuvärdet beräknat ovanför i. e.

=> 1/2 * 100 - 1 * samtalspris = 42. 85

=> Samtalspris = $ 7. 14 i. e. samtalspriset från och med idag.

Eftersom detta är baserat på ovanstående antagande att portföljvärdet förblir detsamma oberoende av vilket sätt det underliggande priset går (punkt 1 ovan) spelar sannolikheten för upp- och nedåtflyttning ingen roll här. Portföljen är riskfri, oberoende av de underliggande prisrörelserna.

I båda fallen (antas vara uppåtflytta till $ 110 och nedåt gå till $ 90) är vår portfölj neutral mot risken och tjänar den riskfria avkastningsräntan.

Därför kommer både handlare, Peter och Paul, att vara villiga att betala samma $ 7. 14 för denna uppringningsalternativ, oberoende av deras egna olika uppfattningar om sannolikheten för uppdrag (60% och 40%). Deras individuella uppfattade sannolikheter spelar ingen roll i optionsvärdering, vilket framgår av ovanstående exempel.

Om man antar att de enskilda sannolikheterna är viktiga, skulle det ha funnits arbitrage möjligheter. I verkliga världen finns sådana arbitrage möjligheter med mindre prisskillnader och försvinner på kort sikt.

Men var är den mycket hypatiska volatiliteten i alla dessa beräkningar, vilket är en viktig (och mest känslig) faktor som påverkar alternativprissättningen?

Volatiliteten ingår redan i definitionen av problem. Kom ihåg att vi antar två (och endast två - och därmed namnet "binomial") stater av prisnivåer ($ 110 och $ 90). Volatiliteten är implicit i detta antagande och ingår därmed automatiskt - 10% på något sätt (i detta exempel).

Låt oss nu göra en sanitetskontroll för att se om vårt tillvägagångssätt är korrekt och förenligt med den vanliga Black-Scholes-prissättningen. (Se: Black-Scholes Options Valuation Model ).

Här är skärmdumparna av alternativkalkylatorresultat (med tillstånd av OIC), vilket nära matchar vårt beräknade värde.

Den verkliga världen är tyvärr inte lika enkel som "endast två stater". Det finns flera prisnivåer som kan uppnås genom lagret tills tiden går ut.

Är det möjligt att inkludera alla dessa flera nivåer i vår binomial prissättningsmodell som är begränsad till endast två nivåer? Ja, det är mycket möjligt, och för att förstå det, låt oss komma in i en viss enkel matematik.

Ett par mellanliggande beräkningssteg hoppas över för att hålla det sammanfattat och fokuserat på resultat.

För att fortsätta vidare, låt oss generalisera detta problem och lösningen:

"X" är det aktuella marknadspriset på lager och "X * u" och "X * d" är framtida priser för upp och ner rörelser ' år senare. Faktorn 'u' kommer att vara större än 1 eftersom den indikerar uppflyttning och 'd' ligger mellan 0 och 1. För ovanstående exempel, u = 1. 1 och d = 0. 9.

Utbetalningsalternativet för samtal är "P _upp " och "P _dn " för upp och ner rörelser vid tidpunkten för utgången.

Om vi ​​bygger en portfölj av "s" -köp som köpts idag och korta ett samtal, sedan efter tiden 't':

Portföljens värde vid uppflyttning = s * X * u - P _upp

Värdet av portföljen vid nedrörelse = s * X * d - P _dn

För liknande värdering i båda fallen av prisrörelsen,

=> s * X * u - P < upp _{= s * X * d - P} dn _{=> s = (P}

upp _{- P} dn _{) / )) = nej. av aktier att köpa för riskfri portfölj} Det framtida värdet av portföljen i slutet av 't' år kommer att vara

Vid uppflyttning = s * X * u - P

upp _{= (P} upp _{- P} dn _{) / (X (ut)) * X * u - P} upp _{Nuvärdesvärdet ovan kan erhållas genom diskontering det med riskfri avkastning:}

Detta bör matcha portföljinnehavet av 's' aktier till X-pris och kortvärde 'c' i. e. nutidens innehav av (s * X - c) bör jämföras med ovanstående. Lösning för c ger slutligen c som:

OM VI KORT SAMTALET PREMIUM SKALL FÖLJA TILL PORTFOLIO INTE SUBTRACTION.

Ett annat sätt att skriva ovanstående ekvation är att omplacera det enligt följande:

Med q som

blir över ekvationen

Omorganiseringen av ekvationen i fråga om "q" har erbjudit ett nytt perspektiv.

"q" kan nu tolkas som sannolikheten för den underliggande uppflyttningen (som "q" är associerad med P

upp _{och "1-q" är associerat med P} dn _{). Sammantaget representerar ovanstående ekvation dagens optionspris i. e. det diskonterade värdet av utbetalningen vid utgången.} Hur skiljer sig denna sannolikhet "q" från sannolikheten för att flytta eller flytta sig till underliggande?

Värdet på aktiekursen vid tidpunkten t = q * X * u + (1-q) * X * d

Med värdet av q och omarrangering kommer aktiekursen vid tid t till

i . e. I denna antagna värld av två stater stiger aktiekursen helt enkelt med riskfri avkastning, i. e. precis som en riskfri tillgång och är därför oberoende av någon risk.Alla investerare är likgiltiga mot risken enligt denna modell, och detta utgör den riskneutrala modellen.

Sannolikhet "q" och "(1-q)" är kända som riskneutrala sannolikheter och värderingsmetoden är känd som riskneutral värderingsmodell.

Ovanstående exempel har ett viktigt krav - framtida avkastningsstrukturen krävs med precision (nivå $ 110 och $ 90). I verkligheten är sådan klarhet om stegbaserade prisnivåer inte möjlig. snarare flyttar priset slumpmässigt och kan lösa sig på flera nivåer.

Låt oss utöka exemplet vidare. Antag att två stegs prisnivåer är möjliga. Vi vet det andra steget slutliga utbetalningarna och vi måste värdera valet idag (dvs. vid första steget)

Arbeta bakåt kan mellanliggande första stegvärderingen (vid t = 1) göras med slutbetalning i steg två (t = 2) och sedan använda dessa beräknade värden för första steg (t = 1) kan dagens värdering (t = 0) nås med hjälp av ovanstående beräkningar.

För att få prissättning vid nr. 2, utbetalningar vid 4 och 5 används. För att få prissättning för nej. 3, utbetalningar vid 5 och 6 används. Slutligen används beräknade utbetalningar vid 2 och 3 för att få prissättning vid nej. 1.

Observera att vårt exempel antar samma faktor för uppåt (och nedåt) rörelse i båda stegen - u (och d) tillämpas på förhöjd sätt.

Här är ett fungerande exempel med beräkningar:

Antag ett säljalternativ med strykpris 110 USD för närvarande handlas på 100 USD och löper ut på ett år. Årlig riskfri ränta är 5%. Priset förväntas öka med 20% och minska med 15% var sjätte månad.

Låt oss strukturera problemet:

Här, u = 1. 2 och d = 0. 85, X = 100, t = O. 5

med användning av ovan härledd formel av

får vi q = 0. 35802832

värdet av putalternativet vid punkt 2,

Vid P

upup _{villkoret ligger underliggande = 100 * 1. 2 * 1. 2 = $ 144 som leder till P} upup _{= noll} Vid P

updn _{villkoret ligger underliggande = 100 * 1. 2 * 0. 85 = $ 102 som leder till P} updn _{= $ 8} Vid P

dndn _{villkoret ligger underliggande = 100 * 0. 85 * 0. 85 = $ 72. 25 som leder till P} dndn _{= $ 37. 75} p

2 _{= 0. 975309912 * (0 35802832 * 0 + (1-0. 35802832) * 8) = 5. 008970741} På liknande sätt p

3 > = 0. 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26. 42958924 _{Och därmed värdet av säljalternativet, p} 1

= 0. 975309912 * (0 35802832 * 5, 008970741+ (1-0, 35802832) * 26. 42958924) = _{$ 18. 29.} På samma sätt tillåter binomialmodeller att man bryter hela alternativvaraktigheten till ytterligare raffinerade flera steg / nivåer. Med hjälp av datorprogram eller kalkylblad kan man arbeta bakåt ett steg i taget för att få nuvärdet av det önskade alternativet. Låt oss sluta med ytterligare ett exempel på tre steg för binomialoptionsvärdering:

Antag ett säljalternativ av europeisk typ, med 9 månader att löpa ut med aktiekurs på $ 12 och nuvarande underliggande pris på $ 10. Antag riskfri ränta på 5% för alla perioder. Antag var tredje månad, det underliggande priset kan flytta 20% upp eller ner, vilket ger oss u = 1. 2, d = 0. 8, t = 0. 25 och 3-stegs binomialträd.

Siffrorna i rött anger de underliggande priserna, medan de i blått indikerar utbetalningen av köpoption.

Riskneutral sannolikhet q beräknas till 0. 531446.

Beräknas värdena vid t = 6 månader med följande värden på q och utbetalningsvärdena vid t = 9 månader:

Vidare använder dessa beräknade värden vid t = 6, värdena vid t = 3 och då vid t = 0 är:

vilket ger dagens värde av säljalternativ som $ 2. 18, som ligger ganska nära den som beräknas med Black-Scholes-modellen ($ 2. 3)

Bottom Line

Även om användningen av dataprogram kan göra mycket av dessa intensiva beräkningar lätt, förblir förutsägelsen av framtida priser en stor begränsning av binomialmodeller för optionsprissättning. Ju finare tidsintervall desto svårare blir det att exakt förutse utbetalningarna i slutet av varje period. Flexibiliteten att införliva ändringar som förväntat vid olika tidsperioder är emellertid ett tillägg plus vilket gör det lämpligt att prissätta de amerikanska optionerna, inklusive tidiga övningsvärderingar. Värdena som beräknas med binomialmodellen matchar noggrant de som beräknas från andra vanliga modeller som Black-Scholes, vilket indikerar användbarheten och noggrannheten hos binomialmodeller för alternativprissättning. Binomial prissättning modeller kan utvecklas enligt en näringsidkares preferens och fungerar som ett alternativ till Black-Scholes.